P.A.E.S. — Pulsar Automata Ecosystem Simulation

Configurations

—

Herbe

Lapins

Renards

P.A.E.S. (Pulsar Automata Ecosystem Simulation) est une simulation interactive de chaîne alimentaire basée sur un automate cellulaire à grille 2D discrète. Elle s'inscrit dans la lignée du Jeu de la Vie de John Conway (1970) et du modèle Wa-Tor d'A.K. Dewdney (1984).

✦ Principe fondamental

Un automate cellulaire est un modèle mathématique composé d'une grille de cellules, chacune pouvant prendre un nombre fini d'états. À chaque pas de temps (tick), l'état de chaque cellule est recalculé uniquement en fonction de son état actuel et de celui de ses voisins. Des règles locales simples produisent un comportement global complexe — c'est le principe d'émergence.

Trois entités coexistent dans la simulation :

🌿 Herbe — le producteur primaire. Elle se propage sur les cases vides adjacentes selon une probabilité configurable.

🐇 Lapins — les consommateurs primaires (herbivores). Ils se nourrissent d'herbe pour survivre et se reproduisent. Sans herbe, ils meurent de famine.

🦊 Renards — les prédateurs (carnivores). Ils chassent les lapins pour survivre. Sans proie accessible, ils périssent.

⚖ Voisinage de Moore

Chaque cellule évalue ses 8 cellules adjacentes (haut, bas, gauche, droite + les 4 diagonales). C'est le voisinage de Moore de rayon 1, noté N₈. Cette zone détermine les interactions possibles : propagation, consommation, chasse, et reproduction.

Pour éviter l'extinction rapide d'une espèce (problème classique des automates prédateur–proie), le modèle intègre deux mécanismes stabilisants :

1. Chasse probabiliste — Le renard n'attrape pas toujours sa proie. Le paramètre P_chasse (réglable de 0 à 100%) contrôle le taux de réussite. Plus il est bas, plus les lapins ont de chances de survie.

2. Expansion passive — Les lapins peuvent coloniser des cases vides à condition qu'au moins 2 lapins voisins soient présents. Le paramètre P_reprod module cette probabilité. Ce mécanisme empêche les lapins de disparaître totalement même quand les renards dominent.

Les oscillations observées dans le graphique correspondent au modèle mathématique de Lotka-Volterra (1926) — consultez l'onglet « Formules » pour les détails.

À chaque tick, les cellules sont évaluées simultanément. L'état suivant de chaque cellule dépend de son état actuel et du nombre de voisins de chaque type dans son voisinage de Moore (N₈).

◻ Cellule Vide (EMPTY)

nHerbe ≥ 1 et rand() < P_herbe : → devient Herbe
L'herbe se propage naturellement depuis les cellules adjacentes
nLapins ≥ 2 et rand() < P_reprod : → devient Lapin
Expansion passive : les lapins colonisent les zones vides proches
Sinon : → reste Vide

🌿 Herbe (GRASS)

nLapins ≥ 1 et rand() < 0.60 : → devient Lapin
Un lapin voisin consomme l'herbe et la cellule devient lapin (reproduction)
Sinon : → reste Herbe

🐇 Lapin (RABBIT)

nRenards ≥ 1 et rand() < P_chasse : → devient Renard
Chasse probabiliste — le renard peut rater sa proie
nHerbe = 0 et rand() < P_{famine_lapin} : → devient Vide
Sans herbe environnante, le lapin meurt de famine
nLapins ≥ 5 : → devient Vide
Surpopulation : la densité excessive tue la cellule
Sinon : → reste Lapin

🦊 Renard (FOX)

nLapins = 0 et rand() < P_{famine_renard} : → devient Vide
Sans proie à portée, le renard meurt de faim
Sinon : → reste Renard

Paramètre	Variable	Défaut	Effet
Pousse herbe	P_herbe	5%	Vitesse de propagation de l'herbe
Famine lapin	P_{fam_L}	35%	Mortalité du lapin sans herbe
Famine renard	P_{fam_R}	20%	Mortalité du renard sans proie
Réussite chasse	P_chasse	30%	Prob. capture renard → lapin
Expansion lapins	P_reprod	20%	Prob. colonisation case vide
Consommation	P_conso	60%	Prob. qu'un lapin mange l'herbe
Surpopulation	N_max	≥ 5	Seuil de voisins lapins → mort

Les dynamiques de population observées dans P.A.E.S. s'apparentent au modèle mathématique de Lotka-Volterra, formulé indépendamment par Alfred Lotka (1925) et Vito Volterra (1926).

Croissance des proies (lapins) dx/dt = αx − βxy
Croissance des prédateurs (renards) dy/dt = δxy − γy

x(t) = population de proies (lapins) au temps t
y(t) = population de prédateurs (renards) au temps t
α = taux de croissance naturelle des proies
β = taux de prédation (mortalité proies par rencontre)
δ = efficacité de conversion proie → prédateur
γ = taux de mortalité naturelle des prédateurs

Dans notre automate cellulaire, ces équations continues sont approximées par des règles stochastiques discrètes sur chaque cellule :

Transition discrète d'une cellule (r, c) S_t+1(r,c) = f( S_t(r,c), N₈(r,c) )

Avec le voisinage de Moore N₈(r,c) = { (r+i, c+j) | i,j ∈ {-1, 0, 1}, (i,j) ≠ (0,0) }

La fonction de transition f évalue le nombre de voisins de chaque type et applique les probabilités configurées. À chaque tick, toutes les cellules sont évaluées simultanément (mise à jour synchrone via double buffering).

Nombre de voisins d'état S autour de (r,c) n_S(r,c) = Σ_{i,j ∈ N₈} [ grid(r+i, c+j) = S ]

Probabilité de chasse réussie P(Lapin → Renard) = { P_chasse si n_fox ≥ 1, 0 sinon }
Probabilité d'expansion des lapins P(Vide → Lapin) = { P_reprod si n_rabbit ≥ 2, 0 sinon }

💡 Pourquoi des cycles ?

Les oscillations sont inhérentes au modèle de Lotka-Volterra : quand les proies abondent, les prédateurs prospèrent → les proies diminuent → les prédateurs déclinent → les proies se rétablissent → cycle. Dans P.A.E.S., le bruit stochastique des probabilités individuelles crée des oscillations irrégulières mais reconnaissables dans le graphique en temps réel.

Bien que P.A.E.S. soit une simulation simplifiée, les automates cellulaires et les modèles dynamiques de type proie-prédateur ont de nombreuses applications concrètes.

🌍 Gestion des Écosystèmes

Réintroduction d'espèces : Modéliser l'impact du retour de prédateurs (ex: loups) sur les herbivores (cerfs) et sur la flore, comme observé dans le parc de Yellowstone.
Contrôle des espèces invasives : Simuler la propagation spatiale d'une espèce exotique et tester virtuellement l'efficacité de différentes stratégies de contrôle ou de barrières écologiques.

🦠 Propagation des Maladies

Modélisation spatiale (SIR) : Les automates cellulaires modélisent la diffusion d'un virus dans une population, en tenant compte des déplacements et des taux de transmission à l'échelle locale.

🏙️ Croissance Urbaine et Trafic

Simulation de trafic (Nagel-Schreckenberg) : Utilisation de grilles 1D ou 2D pour reproduire la dynamique des véhicules, comprendre la formation des embouteillages "fantômes" et optimiser le réseau routier.
Étalement urbain : Prévoir l'évolution géographique des villes en fonction du terrain, des infrastructures et de la densité de population.

💻 Génération Algorithmique

Génération de terrain procédurale : L'industrie du jeu vidéo utilise les automates cellulaires pour générer organiquement des grottes fluides, des biomes ou des systèmes de rivières.
Cryptographie : Certains automates (comme la Règle 30) produisent des motifs pseudo-aléatoires complexes servant de clés de chiffrement sécurisées.

[1] The Game of Life John Horton Conway, 1970 Automate cellulaire à 2 états sur grille 2D, première démonstration de comportement émergent depuis des règles minimales. Popularisé par Martin Gardner dans Scientific American.
[2] Elements of Physical Biology Alfred J. Lotka, 1925 — Williams & Wilkins, Baltimore Première formulation mathématique des équations proie–prédateur (dx/dt = αx − βxy), décrivant les oscillations cycliques entre deux populations interdépendantes.
[3] Variazioni e fluttuazioni del numero d'individui in specie animali conviventi Vito Volterra, 1926 — Mem. Acad. Lincei Roma, 2, 31–113 Formulation indépendante des mêmes équations, appliquée aux données de pêche en Adriatique. Bases mathématiques de l'écologie théorique.
[4] Sharks and Fish: Wa-Tor, a Population Dynamics Simulation A.K. Dewdney, 1984 — Scientific American, Computer Recreations Modèle d'automate cellulaire proie–prédateur (requins vs poissons) sur grille toroïdale, inspirant directement P.A.E.S. avec l'ajout d'un troisième niveau trophique (herbe).
[5] A New Kind of Science Stephen Wolfram, 2002 — Wolfram Media Ouvrage de référence sur la complexité émergente des automates cellulaires. Thèse centrale : des règles computationnelles simples peuvent produire des comportements irréductiblement complexes.

◆ Voisinage de Moore Edward F. Moore, 1962 Ensemble des 8 cellules adjacentes (y compris diagonales) à une cellule donnée dans une grille 2D. Utilisé pour déterminer les interactions locales.
◆ Double Buffering (mise à jour synchrone) Technique standard en simulation d'automates Utilisation de deux grilles : l'une est lue, l'autre est écrite. Garantit que toutes les cellules sont évaluées sur le même état, évitant les biais d'ordre de parcours.
◆ Émergence Concept en théorie de la complexité Propriété d'un système dont les comportements globaux ne sont pas prédictibles à partir des règles individuelles. P.A.E.S. illustre l'émergence via des oscillations macroscopiques issues de micro-règles stochastiques.